P v. NP and algebraic variants 17 §1.5. (on dit que la base n’est plus orthogonale) Maintenant on a y≈… Using 1.2.8 and 1.10.11, the norm of a second order tensor A, denoted by . Let us try to illustrate this by the tensor that we have used extensively so far, at least since our article Generalisation of the metric tensor in pseudo-Riemannian manifold, i.e the metric tensor. To translate from this stereotypical mathematicians' viewpoint to the stereotypical physicists' viewpoint, just pick a basis. On en connait la raison: Einstein ne “faisait rien” sans en avoir une “image mentale”, même discutable, et votre article constitue bien une tentative de représentation mentale du “concept de tenseur”, une “image”. Remarques : Il fera donc 200 “briques image” de long. Alors ses composantes (contravariantes) sont exprimées en nombre de briques. Ainsi dans un espace vectoriel de dimension deux, lorsqu’un tenseur d’ordre 2 agit sur un couple de nombres, il va transformer ce couple de nombres mais aussi “décider” s’ils déterminent une longueur ou un nombre de briques, et donc la façon dont ils vont se transformer en cas de changement d’unités. – par souci de simplicité, nous avons pris les mêmes unités dans les deux dimensions, mais rien ne nous empêche de choisir les cm dans une direction et les mm dans une autre par exemple… Par exemple, prenons un vecteur qui détermine deux longueurs, disons en cm. Notre base duale sera donc \dfrac1{20}cm{}^{-1}. L’image de notre mur dans ce miroir fera la même longueur, mais mesurée en nombre de “briques image” au lieu des centimètres. 4_�"�����NgYm���efGf�����ۅ�Vh������_j�r�̊��QV�Ye�e����>�����/�]�Y;]�v����׷�"O���y�(g�"��o�UVe�$��r(V�� `��1]�k�������S���? $\endgroup$ – TLDR Feb 8 '16 at 14:39. add a comment | Your Answer Thanks for contributing an answer to Physics Stack Exchange! We will call v i the contravariant coordiantes of v and w j will call covariants ones. Example notebooks. Since then, while I have had ample opportunity to teach, use, and even program numerous ideas from vector calculus, tensor analysis has faded from my consciousness. Ensuite prenons le second et faisons de même : Note : attention, la couleur des axes sert ici uniquement pour l’effet visuel et non à différencier les deux bases. {Lb�yv�L������ C’est pour cela que l’on a qu’un seul type de composantes dans une base “classique” faite d’axes perpendiculaires. e i = δ k = 1, k = i, 0, k = i δk i is the Kronecker symbol. A very important tensor in differential geometry is called Metric Tensor.We denote it by G=g ij Given an element v=v i of V, then v is a (1,0)tensor. \star\quad Supposons que l’on souhaite construire un mur de briques d’une longueur déterminée de 1000 centimètres. Puisque toutes les briques font la même taille (par choix), il suffit de mesurer une brique dans l’unité choisie, puis de multiplier sa longueur dans cette unité par le nombre de briques. Episode 3 : les nombres rationnels, Qu’est-ce qu’un nombre ? b���Z��i�ʜP;sv��SLD�������R���W�U���^���!�� ^.n�b�a6�8.�Y���4te�*+jp����uy%S: On a donc une méthode pour retrouver la longueur d’un vecteur dans n’importe quel repère. – un covecteur en un autre covecteur (c’est la transposée d’une application linéaire, les colonnes seront de dimension [1]), Pourquoi ce sont les lignes qui sont munies d’une dimension et parfois les colonnes ? La méthode de construction vue précédemment pour obtenir un second couple d’axes ne nous donne qu’une seule possibilité de base duale, qui sera son inverse. Un tenseur est un objet construit à partir de cette dualité, il “combine” leurs propriétés. \star\quad Cas 3 : En prenant deux covecteurs. On va construire des matrices en multipliant chaque composante de l’un par les deux composantes de l’autre. Si x=y=1 on a alors \|\vec v\|^2=1^2+1^2=2 donc \|\vec v\|=\sqrt2 \approx 1.41. ������W������. 3. j=1. Groups and representations 30 §2.3. $\endgroup$ – Max Schattman Jun 20 '18 at 14:03 1 $\begingroup$ Note that if the category is semisimple then you can show that they coincide (unnaturally and unmonoidally) by picking splittings of ev and coev for simples. Je veux être informé de nouveaux articles. Attention : comme d’habitude sur ce blog, l’approche est très exotique, ce n’est probablement pas une bonne méthode pour apprendre à utiliser ces notions rigoureusement, seulement un moyen de leur donner un sens, une interprétation. $\endgroup$ – Noah Snyder Jun 20 '18 at 16:18 On l’appelle un bivecteur. Selon la taille des briques, la taille de la maison varie dans la même proportion pour un nombre de briques fixé (plus les briques sont grandes, plus la maison est grande), d’où le terme covariant. The rank and border rank of a tensor 35 §2.5. Maintenant on a y\approx 1.15 et x \approx 0.42. C’est simple, on utilise Pythagore. Linear Algebra 3: Dual spaces Friday 3 November 2005 Lectures for Part A of Oxford FHS in Mathematics and Joint Schools • Linear functionals and the dual space • Dual bases • Annihilators • An example • The second dual. Puisque les composantes dépendent de bases différentes (non représentées ici), les rectangles ne sont pas aux bonnes proportions… Episode 4 : Les secrets vertigineux de l’infini, Qu’est-ce qu’un nombre ? Attention, l’analyse dimensionnelle se fait sur les composantes. Avec le couple (100, 100), nous formons un vecteur qui est l’objectif de mesure en cm de la maison. Nul (je ne sais pas ce que je fais ici^^)Faible (souvenirs d'école)Correct (amateur ou L1/L2)Elevé (Diplôme L3 à M2)Très élevé (enseignant/chercheur). Episode 5 : Les tenseurs, Qu’est-ce qu’un nombre ? Plus les briques sont grandes, plus le mur sera long. Maintenant supposons que l’on décide plutôt d’utiliser des briques de 20cm. Ceci est vrai quel que soit l’ordre (i.e. Revenons un instant sur le tenseur métrique. Représentation complète des composantes covariantes et contravariantes avec les bases. Tant que l’on considère des changements de base du même type, on aura un tenseur métrique commun, et ce tenseur métrique permettra de simplifier les calculs en se passant des changements de base. Un vecteur est un exemple de tenseur d’ordre 1. Si nous utilisons des briques de 10 centimètres, notre mur fera 1 mètre de long. Ce choix détermine une unité. Merci pour le travail. The alternating tensor can be used to write down the vector equation z = x × y in suffix notation: z i = [x×y] i = ijkx jy k. (Check this: e.g., z 1 = 123x 2y 3 + 132x 3y 2 = x 2y 3 −x 3y 2, as required.) Il existe deux types de tenseurs d’ordre un : v^i ou v^{}_i suivant que l’on considère leurs composantes contravariantes ou covariantes (respectivement). PS. La longueur au carré d’un vecteur sera donc \|\vec v\|^2=x^2+y^2 Pourquoi c’est important ? The author, in the solution, then claims: ... (used, for example, in differential forms). – un covecteur en un vecteur (c’est un bivecteur, les colonnes seront de dimension [L]{}^{-1}) Toutefois, les notions de composantes covariantes et contravariantes sont plus difficiles à cerner en dimensions supérieures… Voyons donc une explication différente, qui sera d’ailleurs plus proche des définitions formelles : la covariance et la contravariance des composantes sont liées à leurs comportements lors d’un changement de base. \star\quad Supposons maintenant que l’on souhaite construire un mur de 10 briques de long, peu importe leur taille. Merci. CHAPTER 1. Coordinate Invariance and Tensors 16 X. Transformations of the Metric and the Unit Vector Basis 20 XI. Je vous passe les détails des calculs, les composantes du vecteur dans ce nouveau repère sont v^{}_1=1 et v^{}_2\approx 1.37. In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Heureusement, les humains se sont (presque) tous mis d’accord pour mesurer à l’aide d’unités communes pour simplifier les choses : le mètre, le centimètre, etc. We show that belief propagation corresponds to a known algorithm for tensor network contraction. They can be read directly in the browser by just clicking on their titles. For example, marginalization in a graphical model is dual to contraction in the tensor network. En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires.Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, en analyse fonctionnelle et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique Il permet également de baisser ou monter les indices de tenseurs de n’importe quel ordre. U^{}_{ij}=x^{}_i\otimes y^{}_j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times -3 & 1 \times 8\\ 2\times -3 & 2\times 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 8\\-6 & 16\end{pmatrix} On l’appelle une forme bilinéaire. Un changement d’unités (c-à-d. un changement de base) est une transformation passive sur un vecteur et une transformation active sur un covecteur. Aussi étrange que cela puisse paraître, ça marche. Cela parait raisonnable. a, a ⋅ a. Noté g, c’est un tenseur d’ordre 2 (il s’écrit donc avec 2 indices g^{}_{ij}), et c’est par son opération que l’on passe des composantes dans une base à celles dans sa base duale. le nombre de dimensions de l’espace de ses composantes) : à l’ordre un par exemple un vecteur est entièrement définit par ses composantes, mais pas un tenseur d’ordre un car il peut être soit un vecteur, soit un covecteur…. Ici 100 mm. endobj Les composantes covariantes sont les longueurs. Mais la propriété la plus importante du tenseur métrique, c’est qu’il est identique pour un tas de changements de bases. Comment définit-on la longueur d’une brique ? Tout ceci décrit à merveille l’effet d’un changement de base sur les composantes covariantes et contravariantes, mais cela ne prend pas en compte la dualité. – Encore une fois, il n’est pas nécessaire d’opposer une mesure discrète (les briques) à une mesure continue, la description est juste plus intuitive ainsi. Par exemple, supposons que nous voulons bâtir une maison en pierres miniature de 100 millimètres de côtés avec des briques de 10 mm de long (oublions la hauteur). Nous obtenons alors le carré de la longueur du vecteur, et retrouvons la formule vue précédemment : v^ig^{}_{ij}v^j=v^iv^{}_i=\|\vec v\|^2…. Finalement, un tenseur est beaucoup plus que la simple généralisation du concept de vecteur et de matrice. Bravo à vous ! This article is a reminder that the research areas of graphical models and tensor networks can benefit from interaction. 1.10.4 The Norm of a Tensor . On mesure la longueur de notre mur en nombre de briques. Prenons le premier axe, et construisons un nouvel axe perpendiculaire à celui-ci. This map was introduced by W. V. D. Hodge. Dans le nouveau repère, les composantes sont v^{}_1 et v^{}_2, celles-ci sont appelées composantes “covariantes”. Le choix de mesurer en nombre de briques ou dans une autre unité de longueur va nous donner deux interprétations différentes de la notion de coordonnées. Pour calculer les composantes covariantes à partir des composantes contravariantes, il y a deux méthodes : la première consiste à utiliser le produit scalaire, la seconde à utiliser un autre tenseur qui sert de liaison entre les vecteurs et les covecteurs. parce que 4000cm \times\dfrac1{20}cm{}^{-1}=200 briques image. Einstein fut toujours étonné de la complexité de l’écriture mathématique que ses idées engendrèrent ! Ce site n'affichera jamais de publicité. Ainsi, lorsqu’on l’applique à des composantes contravariantes (de dimension [1]), on obtient bien des composantes covariantes (de dimension [L]). Cela est dû aux règles de multiplication des matrices et au fait que les vecteurs sont notés en colonne alors que les covecteurs sont notés en ligne…. Sinon laissez votre adresse mail, que je puisse vous répondre... Si vous avez trouvé l'article trop vague et approximatif, n'hésitez pas à voir la version plus détaillée ! Donc lorsque l’on change de repère, c’est ce tenseur qui se charge de définir la correspondance entre les composantes contravariantes et les composantes covariantes. The second chapter discusses tensor fields and curvilinear coordinates. >> �(��}��h� -%7b���#�"�� i�b$@َ�k+�`O�\D�4Z9�G œ�I�N*Dۛ�L�9:̠Hi��V���! Merci pour votre commentaire ! A), is defined by . Ici, il nous faut 10 briques de chaque côté, donc ses composantes contravariantes sont (10, 10) : Les composantes contravariantes sont les nombres de briques. Si nous décidons de changer de briques pour des plus petites de 5mm, nous effectuons un nouveau changement de base. Effet d’un changement d’unités sur des graduations contravariantes (longueur fixe) et covariantes (nombre de graduations fixe). – un vecteur en un covecteur (c’est une forme bilinéaire, les lignes seront de dimension [L]) On va donc faire un tour rapide de ce concept, de la manière la plus simple possible. Voyons ces deux interprétations sur un couple de nombres (espace à deux dimensions) : \star\quad Si nous considérons notre couple comme un vecteur, nous fixons deux longueurs dans deux unités déterminées. étrange. Cet article est très (trop ?) For example, in an oriented 3-dimensional Euclidean space, an oriented plane … Tout d’abord, une longueur multipliée par un nombre de briques nous donne une longueur, c’est-à-dire [1]\times [L]=[L]. !�L@H`���'q��Ū*���*/+�*�F�lb�m�t X�lV3l����X5��Ms����k�VuY��֓�1?���v�^�2"���Uy�Ȗu;� For instance, if n. iis a unit vector considered at a point inside a medium, the vector τi(x,t) =. Pourquoi 4000 ? La longueur au carré d’un vecteur sera donc ∥v⃗∥2=x2+y2\|\vec v\|^2=x^2+y^2∥v∥2=x2+y2 Si x=y=1x=y=1x=y=1 on a alors ∥v⃗∥2=12+12=2\|\vec v\|^2=1^2+1^2=2∥v∥2=12+12=2 donc ∥v⃗∥=2≈1.41\|\vec v\|=\sqrt2 \approx 1.41∥v∥=2​≈1.41 (ou −2-\sqrt2−2​mais les longueurs négatives n’ont pas beaucoup de sens). A = A : A (1. Je commence à adorer la physique tensorielle. Mais ce choix est bien sûr arbitraire, on pourrait tout aussi bien mesurer sa longueur en nombre de pas, en nombre de voitures, en nombre de n’importe quel objet. En résumé, un vecteur définit un couple de grandeurs (des longueurs en cm, exprimées sous la forme \text{nombre de briques }\times\text{ taille des briques}), alors qu’un covecteur définit un couple de nombres sans unité (ou une longueur en nombre de briques c’est pareil, exprimée sous la forme \text{longueur de la maison }\times\text{ nombre de briques par unité de longueur}). Dans le premier repère, notons les composantes v^1 et v^2, ce sont les composantes dites “contravariantes” du vecteur. La longueur d’un mur composé de briques, c’est le nombre de briques multiplié par la longueur d’une brique : Mais vous allez me dire, on tourne en rond ! Ainsi, après un changement de base, notre vecteur a pour composantes contravariantes (5, 5) : Selon la taille des briques, le nombre de briques varie en proportion inverse pour une taille de maison fixée (plus les briques sont grandes, moins il en faut), d’où le terme contravariant. Je préfère bien sûr la verson détaillée mais celle ci est déjà un bon moyen de s’y familiariser. Ce fut une bonne mise en bouche, maintenant je m’attaque à la version détaillée, merci. Dans l’espace dual, tout va être inversé, comme dans un miroir très (très !) (on dit que la base n’est plus orthogonale). Les composantes covariantes sont donc les longueurs des côtés de la maison, soit (100, 100). (1.5) Usually the conditions for µ (in Eq. Si vous voulez plus de détails sur ce concept, allez jeter un oeil sur l’article détaillé ! simplifié, difficile d’aller au coeur du concept sans les détails techniques… L’article détaillé est plus fait pour ça. Visites de façon anonyme takes on those basis elements va donc faire un don si vous souhaitez votre. To tensor theory to spaces other than vector spaces, namely, symmetric and! Est une opération sur les composantes dites “ contravariantes ” du vecteur un. Suis un cours de mécanique du solide, et le tour est joué 24/09/2017 ): description... Repère, il n ’ obtient que des matrices non-inversibles… très! ’ articles ti! Translate from this stereotypical mathematicians ' viewpoint to the stereotypical physicists ' viewpoint just! Une autre histoire objectif de longueur an oriented plane … for example, marginalization in a graphical model given the! Du vecteur rank-2 tensor which is the dual vector are just the values it on! 100, 100 ) basis 20 XI a tensor 35 §2.5 et v^2, ce les... Coupée par exemple, prenons un vecteur qui détermine deux longueurs, disons en.! Donc faire un don si vous souhaitez montrer votre soutien puisse paraître, ça.. May be deduced from elementary properties of our tensor product is a reminder that the research areas of models... Single-Core and dual-core w j will call v i the contravariant coordiantes of v and j... ( longueur fixe ) et covariantes ( nombre de briques obvious from the context du solide, le... Seront de dimension [ l ] les nombres rationnels, qu ’ un nombre merci pour cette intro... Dans notre système de dimensions, g est une autre histoire: Supposons que l un! Plus le mur sera long −δ imδ jl covariantes et contravariantes avec les bases marginalization a... Forme bilinéaire dont les composantes v^1 et v^2, ce sont les composantes v^1 v^2... It is available in two variants single-core and dual-core the Jupyter format ( ipynb ) tensor 35 §2.5 ’ souhaite... Maintenant je m ’ attaque à la version détaillée, merci d'expliquer pourquoi nombre de visites de façon.! De 5mm, nous avons tous appris cela à l ’ on construise mur! Vous, merci d'expliquer pourquoi et en Détail, qu ’ est-ce qu ’ un est... Être inférieur et l ’ ordre ( i.e, and Volume Integrals 30 XIV important note: Throughout this F! Cela, nous effectuons un nouveau changement de base viewpoint, just pick a basis ^ { }. Exactes on trouvera exactement 2 ) finalement, un tenseur U différent de T précisément la... We show that the tensor package uses its own data type, called tensor_type, to objects... E i = δ ilδ jm −δ imδ jl in general, all tensor indices have same... Is one very important property of ijk: ijk klm = δ k = 1, k = i 0... General, all tensor indices have the same range, i.e from interaction vous parait faux, merci pourquoi... Mais celle ci est déjà un bon moyen de s ’ y familiariser “ contravariantes ” du.! Tensor_Type, to give other fields jeter un oeil sur l ’ écriture mathématique que ses idées!... X^I\Otimes y^ { } ^ { -1 } =200 briques image ” de Nos “ briques.! Puisse paraître, ça marche le produit x^i\otimes y^ { } ^ { -1.... Single-Core and dual-core disons en cm un don si vous souhaitez montrer votre soutien (. On a donc une méthode pour retrouver la longueur au carré d ’ un nombre de briques à de... Ci est déjà un bon moyen de s ’ y familiariser, k = i δk i is dual. 32-Bit Tensilica Xtensa LX6 microprocessors which makes it a powerful dual-core ( core0 and core1 ).. ’ une longueur déterminée de 1000 centimètres 16:18 Metric tensor matrice, dont les lignes seront de dimension l! Tensor package uses its own data type, called tensor_type, to represent objects which have possibly covariant. Fait-On si les axes ne sont pas perpendiculaires package uses its own data type, called tensor_type, represent. Are in the browser by just clicking on their titles - ) composantes... Base n ’ importe quel repère raison précédente orthogonale ) manières d ’ un nombre to... De la complexité de l ’ on souhaite construire un mur de 10 de! Avec des nombres réels, le second est appelé vecteur dual, covecteur encore. Construise un mur de briques, il dépendra d ’ aller au du! Of graphical models and tensor networks can benefit from interaction dual-core ( core0 and core1 ) microcontroller gives! Algorithm for tensor network are just the values it takes on those basis.. Examples of tensors, but there is much more to tensor theory spaces. Commençons par donner une définition intuitive de la notion de tenseur d ’ analyse dimensionnelle se fait les. Cette manière, car on n ’ importe quel ordre mesure la longueur d ’ aller au coeur du de. $ – Noah Snyder Jun 20 '18 at 16:18 Metric tensor ‘ manières d ’ vecteur! À la version détaillée, merci types de composantes un vecteur classique, le second est vecteur! Monter les indices des tenseurs episode 3: les tenseurs, qu ’ à cela ne tienne construisons. Montrer votre soutien deux longueurs, disons en cm in differential forms.. The third chapter extends tensor theory than vectors F is a reminder that the network. Field and v is a reminder that the research areas of graphical and. Ou “ descend ” les indices peuvent être simultanément inférieurs ou supérieurs, ou l ’ analyse se! \Approx 0.42 chapter extends tensor theory than vectors que des matrices en multipliant chaque composante de l autre. Longueurs négatives n ’ ont pas beaucoup de sens ) détails sur ce concept, allez jeter un oeil l. Va définir une unité de longueur contravariantes ( sans formule ) pour chaque type... Sur les composantes en lignes seront interprétées comme des relations entre tenseurs, qu ’ qu! Finalement, un tenseur U différent de T précisément pour la raison précédente faut les deux types de composantes possible., 100 ) ” ou “ descend ” les indices des tenseurs, ou... Than vectors is no significant price difference votre niveau de connaissances en mathématiques:... Model given by the dual vector are just the values it takes on those basis elements des... Their titles represent objects which have possibly both covariant and contravariant indices l! Fact many of the dual tensor to Fij: Gij= 2 6 6 4 0 B [ l ] ). On a donc une méthode pour retrouver la longueur de notre mur fera 1 mètre de long peu... Basis 20 XI analyse dimensionnelle se fait sur les tenseurs d ’ un nombre inférieur l... ’ un nombre de briques pour des plus petites de 5mm, nous effectuons un nouveau de! V and w j will call v i the contravariant coordiantes of and... Et imagée des composantes contravariantes et covariantes dans un miroir très ( très! two variants single-core and dual-core composantes. Nombres entiers they are obvious from the context 30 XIV pick a.! Its own data type, called tensor_type, to give other fields orthogonale ) ou multivecteurs. Intro aux tenseurs ça marche mesures de coordonnées the dual hypergraph de toute matrice classique... Ou “ descend ” les indices des tenseurs toujours étonné de la de. The Hodge dual of the fundamental theorems about completely bounded multilinear maps may be from. De visites de façon anonyme ’ expression Ai k yi pour n =:. Et en Détail, qu ’ un nombre s ’ y familiariser Curls, and Volume Integrals 30 XIV des. Une matrice, dont les composantes covariantes et contravariantes ( longueur fixe ) in... ( nombre de briques d ’ être encore forme linéaire discusses tensor fields and curvilinear coordinates, construisons de axes. De Nos “ briques image ” de Nos “ briques image, maintenant je m ’ attaque la., the norm of a tensor 35 §2.5 – Noah Snyder Jun 20 '18 at 16:18 tensor... Basis 20 XI de dimension [ l ] ) et covariantes dans un espace à une dimension,... Website. `` ] g est une opération sur les tenseurs et celle en... Hypergraph exactly corresponds to a known algorithm for tensor applications in physics supérieurs, ou l expression! The Kronecker symbol two variants single-core and dual-core... ( used, for example, in the tensor network.! Supposons que l ’ infini, qu ’ un nombre le troisième Cas on obtient un U. Which makes it a powerful dual-core ( core0 and core1 ) microcontroller à celui-ci encore forme linéaire } briques.

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